الجبر الخطي الأمثلة

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{4}{z} = 1$ , $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{8}{z} = 0$ , $- \frac{1}{x} + \frac{9}{y} + \frac{10}{z} = 5$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم $1$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \cdot 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.5

اقسِم $2$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.6

اقسِم $3$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.7

اقسِم $8$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 \cdot 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.10

اقسِم $9$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

خطوة 2.11

اقسِم $10$ على $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.12

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & 8 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 1 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.12.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.13

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 9 + 1 \cdot 2 & 10 - 4 & 5 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 2.13.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

خطوة 2.14

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- 1$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- 1$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 16 & - - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

خطوة 2.14.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

خطوة 2.15

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 & 6 - 11 \cdot - 16 & 6 - 11 \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 2.15.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 182 & - 16 \end{array}]$

خطوة 2.16

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $\frac{1}{182}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $\frac{1}{182}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ \frac{0}{182} & \frac{0}{182} & \frac{182}{182} & \frac{- 16}{182} \end{array}]$

خطوة 2.16.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 2.17

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 + 16 \cdot 0 & 1 + 16 \cdot 0 & - 16 + 16 \cdot 1 & 2 + 16 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 2.17.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 2.18

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & 2 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 2.18.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{59}{91} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 2.19

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.19.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{59}{91} - 2 (\frac{54}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 2.19.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{7}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x = - \frac{7}{13}$

$y = \frac{54}{91}$

$z = - \frac{8}{91}$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- \frac{7}{13}, \frac{54}{91}, - \frac{8}{91})$

خطوة 5

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{7}{13} \\ \frac{54}{91} \\ - \frac{8}{91} \end{array}]$